Question

椭圆上有一点P，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，△F₁PF₂为直角三角形，则这样的点P有（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

Answer 1

【答案】分析：本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．
解答：解：当∠F₁为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；
同理当∠F₂为直角时，这样的点P有两个；
由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．
故符合要求的点P有六个．
故选C．
点评：根据△F₁PF₂中三个内角那个是直角进行分类讨论，数形结合、根据椭圆是对称性进行分析判断．