Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1则
（1）2是函数f（x）的周期；
（2）函数f（x）在（2，3）上是增函数；
（3）函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
（4）直线x=2是函数f（x）的一条对称轴．
其中正确的命题是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）直接去x=x+1就能推出函数周期；
（2）根据函数在x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1为增函数，再由周期性能得到函数f（x）在（2，3）上是增函数；
（3）求出函数在[-1，1]上的最小值，也就是函数在定义域上的最小值；
（4）由函数f（x）的周期是2，且函数f（x）是偶函数，所以f（4+x）=f（x）=f（-x），所以能得到一条对称轴．

解答：解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
取x=x+1则f（x+1+1）=f（x+1-1）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以2是函数f（x）的周期，所以（1）正确；
（2）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1为增函数，又因为函数f（x）的周期是2，所以函数在[2，3]上的图象与在[0，1]上的图象完全相同，所以函数f（x）在（2，3）上是增函数，所以（2）正确；
（3）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1为增函数，且函数f（x）为偶函数，所以在[-1，1]上函数的最小值为f（0）=

1

2

，
再由函数图象以2为周期周期出现，所以函数f（x）的最小值是

1

2

，所以（3）不正确；
（4）由函数f（x）的周期是2，且函数f（x）是偶函数，所以f（4+x）=f（x）=f（-x），所以函数的一条对称轴是x=2，所以（4）正确．
故答案为（1）（2）（4）．

点评：本题考查了函数的周期性及奇偶性，训练了抽象函数的自变量的灵活替换，是高考常见题型．