Question

已知函数f(x)=

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x3-ax2-2x+1，设g（x）=（3a²-2）x，
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的极值；
（2）如果函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f^/（x）=0及函数f（x）的单调性，判断f（x）的极值点，进而求得相应地极值．
（2）首先把“函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点”等价变换为“函数F（x）=f（x）-g（x）=

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 x³-ax²-3a²x+1的图象与x轴只有一个交点”；然后根据F^/（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a）的正负性，分析 F（x）的单调性；结合F（x）的草图，可得关于a的不等式F（3a）•F（-a）＞0，进而解之即可．

解答：解：（1）当a=

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2

时，f^/（x）=x²-x-2
令f^/（x）=0，得x=2或x=-1．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞），单调递减区间为（-1，2）
所以f（-1）_极大值=

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6

，f（2）_极小值=-

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5

，
（2）f（x）与g（x）的图象有且仅有一个公共点等价于方程f（x）-g（x）=0仅有一个实数解，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x+1，即F（x）=0仅有一个实数解，
又F^/（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a），
要使F（x）=0仅有一个实数解，即函数F（x）的图象与x轴只有一个交点，其草图如下：

故F（3a）•F（-a）＞0，
即(-9a3+1)(

5

3

a3+1)＞0，所以-

3

5

＜a3＜

1

9

，
即a∈(-

3 75

5

，

3 3

3

)时，f（x）与g（x）的图象只有一个公共点．

点评：单调性是函数最基本、最重要的性质，对函数综合问题的考查总会有单调性相伴；而导数法又是研究函数单调性的最基本方法．一定要注意导数法的灵活运用．