Question

求证：

C

0 n

+3

C

1 n

+5

C

2 n

+…+(2n+1)

C

n n

=(n+1)2n．

Answer 1

分析：根据题意，设左式为S_n，即设Sn=

C

0 n

+3

C

1 n

+5

C

2 n

+…+(2n+1)

C

n n

为①式，由二项式系数的性质并将①式倒序可得Sn=(2n+1)

C

0 n

+(2n-1)

C

1 n

+…+3

C

n-1 n

+

C

n n

②，将①、②相加可得2Sn=(2n+2)(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

)=2(n+1)•2n，对其整理变形可得证明．

解答：证明：设Sn=

C

0 n

+3

C

1 n

+5

C

2 n

+…+(2n+1)

C

n n

   ①
把①式右边倒转过来得Sn=(2n+1)

C

n n

+(2n-1)

C

n-1 n

+…+3

C

1 n

+

C

0 n

，
又由

C

m n

=

C

n-m n

可得Sn=(2n+1)

C

0 n

+(2n-1)

C

1 n

+…+3

C

n-1 n

+

C

n n

②
①+②得  2Sn=(2n+2)(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

)=2(n+1)•2n，
∴Sn=(n+1)•2n，
即：

C

0 n

+3

C

1 n

+5

C

2 n

+…+(2n+1)

C

n n

=(n+1)2n，
原等式得证．

点评：本题考查二项式系数性质的运用，解题的关键是要充分利用二项式系数的性质，如

C

m n

=

C

n-m n

，并结合数列的知识进行分析计算．