Question

如图，α-l-β是120°的二面角，A、B是棱l上的两点，且AB=2，D在平面α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在平面β内，三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°.

(1)求三棱锥D-ABC的体积；

(2)求直线BD与平面β所成的角的正弦值；

(3)求二面角D-AC-B的平面角的正切值.

Answer 1

解：(1)过D作平面β的垂线，垂足为O，连结OA并延长至E.

∵AB⊥AD,OA为DA在平面β内的射影,

∴OA⊥AB,∴∠DAE为二面角α-l-β的平面角,∴∠DAE=120°,                      

∴∠DAO=60°,∴AD=AB=2,∴DO=.

又D到平面β的距离DO=，∴V_ABC=·S_ABC·DO=.                          

(2)由(1)知∠DBO为BD与平面β成的角,

∴sin∠DBO=.                                                    

(3)过O在β内作OF⊥AC，交AC的反向延长线于F，连结DF，则AC⊥DF,

∴∠DFO为二面角DACB的平面角，

又在三角形DOA中，OA=2cos60°=1,即∠OAF=∠EOC=60°,

∴OF=1·sin60°=,∴tan∠DFO==2.