Question

已知函数 ，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）内，求使关系式成立的实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定义域关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅲ）先证明f（x）在（0，1）内单调递减，即在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．最后利用单调性将原不等式转化为整式不等式求解即可．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）有意义，需
解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函数定义域为x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，
∵f（-x）==，
又由（1）已知f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅲ）设0＜x₁＜x₂＜1，∵，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴①
又，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∴．②
由①②，得，
∴f（x）在（0，1）内为减函数；
又，∴使成立x的范围是．
点评：本题主要考查函数的基本性质，涉及到定义域的求法，要注意分式函数，根式函数和基本函数的定义域；还考查了奇偶性的判断，要注意定义域．