Question

7．设Ω是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（0）＜1．
（1）判断函数g（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）是否为集合Ω中的元素，并说明理由；
（2）设函数f（x）为集合Ω中的任意一个元素，对于定义域中任意的α，β，当|α-2015|＜1，且|β-2015|＜1时，证明：|f（α）-f（β）|＜2．

Answer 1

分析 （1）求导，得出g′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2x}$，则0＜g′（x）＜1，满足条件②，构造函数F（x）=g（x）-x，利用代入法求出F（e）=-$\frac{e}{2}$+$\frac{5}{2}$＞0，F（e²）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$+1＜0，判断函数存在零点．
（2）利用（1）的性质，得出f（x）为增函数，函数f（x）-x为减函数，通过变形整理证明不等式．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）求导，得出g′（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）；
∴g′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2x}$，则0＜g'（x）＜1，满足条件②；
令F（x）=g（x）-x=-$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3 （x＞1），
则F（e）=-$\frac{e}{2}$+$\frac{5}{2}$＞0，F（e²）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$+1＜0，
∴F（x）在（e，e²）上存在零点x₀，
即方程g（x）-x有实数根x₀∈[e，e²]，故g（x）满足条件①，
综上可知g（x）是集合Ω中的元素；
当x＞1时，0＜g′（x）＜1
（2）不妨设α＜β，
∵f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数，
∴f（α）＜f（β），又f′（x）-1＜0，
∴函数f（x）-x为减函数，
∴f（α）-α＞f（β）-β，
∴0＜f（β）-f（α）＜β-α
∴|f（β）-f（α|＜|β-α|，
∴|f（β）-f（α|=|-f（β）+f（α）|＜|β-α|=|（β-2015）-（α-2015）|≤1+1=2

点评 考察了导函数判断函数单调性和构造函数，通过求零点得出方程有解．难点是对性质的综合利用．