Question

16．已知函数f（x）=x²-1，若关于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在（0，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t²+mt+2m+3，再分t=0，t＞0，运用参数分离和基本不等式，分别求出m的范围，综合可得结论．

解答 解：当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-1∈（-1，+∞），
令t=|f（x）|（t≥0），
则方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0可化为：t²+mt+2m+3=0，
由题意可知，方程t²+mt+2m+3=0在[0，+∞）上有两个不同的解．
令h（t）=t²+mt+2m+3．
当t=0时，显然2m+3=0，解得m=-$\frac{3}{2}$，
进而得到t=0或$\frac{3}{2}$，x=1或x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$成立；
当t＞0时，由-m=$\frac{{t}^{2}+3}{t+2}$=（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4，（t+2＞2），
由（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4的最小值为2$\sqrt{7}$-4，又t=0时，可得（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4=$\frac{3}{2}$，
则2$\sqrt{7}$-4＜-m＜$\frac{3}{2}$，解得-$\frac{3}{2}$＜m＜4-2$\sqrt{7}$，
综上可得，实数m的取值范围为[-$\frac{3}{2}$，4-2$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，关键是换元法的利用，属于中档题．