Question

10．已知a，b都是不等于0的常数，变量θ满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{asinθ+bcosθ≥0}\\{acosθ-bsinθ≥0}\end{array}\right.$，试求sinθ的最大值．

Answer 1

分析 把约束条件变形，得到$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ+φ）≥0}\\{cos（θ+φ）≥0}\end{array}\right.$，由此求得θ的范围，然后分a＞0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0；a＜0，b＜0四种情况讨论，利用sinθ的单调性求其最大值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{asinθ+bcosθ≥0}\\{acosθ-bsinθ≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ+φ）≥0}\\{cos（θ+φ）≥0}\end{array}\right.$，其中tanφ=$\frac{b}{a}$，
∴2kπ≤θ+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，故2kπ-φ≤θ≤2kπ+$\frac{π}{2}$-φ．
（1）当a＞0，b＞0时，φ为锐角，而sinθ在[2kπ-φ，2kπ+$\frac{π}{2}$-φ]上为增函数，
因此（sinθ）_max=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$；
（2）当a＞0，b＜0时，同理得$-\frac{π}{2}＜$φ＜0，${（sinθ）}_{max}=sin\frac{π}{2}=1$；
（3）当a＜0，b＞0时，$\frac{π}{2}＜$φ＜π．
若-a＞b，则sin（2kπ-φ）=-sinφ=-$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
故$（sinθ）_{max}=sin（2kπ-φ）=-\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$；
同理若-a≤b，则（sinθ）_max=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$；
（4）当a＜0，b＜0时，-π＜φ＜$-\frac{π}{2}$，
由sinθ在[2kπ-φ，2kπ+$\frac{π}{2}$-φ]上为减函数，有（sinθ）_max=sin（2kπ-φ）=-sinφ=-$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了由正弦函数的单调性求函数最值，是有一定难度题目．