Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥AE；
（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；
（Ⅱ）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE；
（Ⅲ）过点A作AM⊥PD，由（Ⅱ）知，AE⊥面PCD，故∠AME是二面角A-PD-C的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求 二面角A-PD-C的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，故CD⊥AE．
（Ⅱ）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
（Ⅲ）解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，则（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A-PD-C的一个平面角．
由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，则PA=a，AD=

2 3

3

a，PD=

21

3

a，AE=

2

2

a．
在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM=

2 7

7

a．
在直角△AEM中，AE=

2

2

a，AM=

2 7

7

a，∴EM=

14

14

a
∴tan∠AME=

AE

EM

=

7

．
所以二面角A-PD-C的正切值为

7

．

点评：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．