Question

已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），双曲线C上一点P到F₁，F₂距离差的绝对值等于2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
（3）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求|DF₁|+|DG|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，焦点在x轴上，由此能求出双曲线C的标准方程．
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用点差法能求出AB所在直线l的方程．
（3）由已知，得|DF₁|-|DF₂|=2，即|DF₁|=|DF₂|+2，当且仅当G，D，F₂三点共线时，|DF₁|+|DG|的最小值．由此能求出这个最小值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，（2分）
∴其虚半轴长b=

c2-a2

=

3

，（3分）
又其焦点在x轴上，
∴双曲线C的标准方程为x2-

y2

3

=1．（4分）
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则

3 x 2 1 - y 2 1 =3 3 x 2 2 - y 2 2 =3

（5分）
两式相减，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，（6分）
∵M（2，1）为AB的中点，
∴

x1+x2=4 y1+y2=2

，（7分）
∴12（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=6．（8分）
∴AB所在直线l的方程为y-1=6（x-2），即6x-y-11=0．（9分）
（3）由已知，得|DF₁|-|DF₂|=2，即|DF₁|=|DF₂|+2，（10分）
∴|DF₁|+|DG|=|DF₂|+|DG|+2≥|GF₂|+2，
当且仅当G，D，F₂三点共线时取等号．（11分）
∵|GF2|=

(1-2)2+22

=

5

，（12分）
∴|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=

5

+2，（13分）
∴|DF₁|+|DG|的最小值为

5

+2．（14分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查两线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．