Question

已知函数f（x）=

ax+1

1-ax

（a＞0且a≠0），函数g（x）与f（x）的图象关于y=x对称．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判断g（x）在（1，+∞）内的单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数关于y=x对称的解析式即可得到结论．
（2）根据复合函数的单调性之间的关系即可判断函数的单调性．

解答： 解：（1）∵g（x）与f（x）的图象关于y=x对称，
∴g（x）=f^-1（x），
∵f（x）=

ax+1

1-ax

=

ax-1+2

1-ax

=-1-

2

ax-1

，
∴y＞1或y＜-1，即函数f（x）的值域为{y|y＞1或y＜-1}，
由y=f（x）=

ax+1

1-ax

得ax=

y-1

y+1

，
即x=loga

y-1

y+1

，
∴f-1(x)=loga

x-1

x+1

，
即g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

，（x＞1或x＜-1）．
（2）∵

x-1

x+1

=

x+1-2

x+1

=1-

2

x+1

，
∴当x＞1时，函数y=

x-1

x+1

单调递增，
若a＞1，则g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

单调递增，
若0＜a＜1，则g（x）=f-1(x)=loga

x-1

x+1

，单调递减．

点评：本题主要考查对数函数的综合运用，考查了反函数的求法，复合函数单调性的判断，利用单调性确定函数的最值，解题的关键是理解对数的单调性．