Question

设a₁、a₂、a₃、a₄为自然数，集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，集合B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄，并满足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中的所有元素之和为124，求集合A、B．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：集合

分析：先由条件求出a₁=1，a₄=9，故有 a₂=3或a₃=3，然后进行代入验证即可．

解答： 解：由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄ ，所以只可能a₁=a₁²，即a₁=1或a₁=0．
∵a₁，a₄是平方数，
∴由a₁+a₄=10，得a₁=1，a₄=9．
且a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
若a₂²=9，即a₂=3，则1+3+a₃+9+（a₃²+81）=124．此时a₃=5或a₃=-6（舍去），此时A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
若a₃²=9，即a₃=3，此时只能有a₂=2，则1+2+3+4+9+81≠124，不合题意，
故．A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．

点评：本题主要考查集合元素关系的判断，综合性较强，难度较大．