Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0
（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2008，2008]上的根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用条件先求出函数的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；
（2）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2008]上有402个解，在[-2008，0]上有400个解．

解答： 解：（1）由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），
得f（x）=f（4-x），且f（x）=f（14-x），
即f（4-x）=f（14-x）
∴f（x）=f（x+10），
即函数的周期为10．
又f（3）=0，而f（7）≠0，
∴f（-3）=f（7）≠0，
即f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）
故函数y=f（x）是非奇非偶函数；
（2）由（1）知，f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
∵在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，∴在[4，7]上无零点，
又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2008]上有402个解，在[-2008，0）上有401个解，
∴函数y=f（x）在[-2008，2008]上有803个解．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，有一定的难度．