Question

已知函数f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx，若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式进行转换，利用参数分离法，利用函数的最值和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）＞0，
得|x+a|＞

lnx

2x

，
①当0＜x＜1，|x+a|≥0，

lnx

2x

＜0，不等式恒成立，∴a∈R
②当x=1时，|1+a|≥0，

lnx

2x

=0，此时a≠-1，
③当x＞1时，不等式等价为a＞-x+

lnx

2x

或a＜-x-

lnx

2x

恒成立，
设g（x）=-x+

lnx

2x

，则g′(x)=-1+

1 x •2x-2lnx

4x2

=-1+

1-lnx

2x2

=

1-lnx-2x2

2x2

，
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴此时a≥-1．
设h（x）=-x-

lnx

2x

，则h′(x)=-1-

1 x •2x-2lnx

4x2

=-1-

1-lnx

2x2

=

-2x2-1+lnx

2x2

，
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴此时g（x）取最小值．
综上a＞-1．
即a的取值范围是（-1，+∞）．

点评：本题主要考查不等式恒成立的解法，利用参数分离法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度比较大．