Question

（I）求函数f(x)=log3(1+x)+

3-4x

的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=x+

4

x

的奇偶性
（3）证明函数 f（x）=x+

4

x

 在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由

1+x＞0 3-4x≥0

可求得其定义域；
（2）由奇函数的定义f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），可判断f（x）为奇函数；
（3）利用单调函数的定义，设2＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化积判断符号即可．

解答：解：（Ⅰ）由

1+x＞0 3-4x≥0

得-1＜x≤

3

4

，
∴求函数f(x)=log3(1+x)+

3-4x

的定义域为：{  x|-1＜x≤

3

4

}-----（3分）
（2）f（x）=x+

4

x

为奇函数---------（4分）
证明：∵f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

4

x

为奇函数．---------（5分）
（3）证明：设2＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=x₁-x₂-

4(x1-x2)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）…（2分）
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即0＜

4

x1x2

＜1．
∴1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是增函数．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数…（6分）
∴f（x）_max=f（8）=

17

2

，f（x）_min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域为[5，

17

2

]．（8分）

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，着重考查函数的奇偶性与单调性的定义及其应用，突出转化思想的运用，属于中档题．