Question

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）已知曲线C的参数方程为

x=1+2t y=at2

（t为参数，a∈R），点M（5，4）在曲线C 上，则曲线C的普通方程为

 

．
（2）已知不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，则正实数c的取值范围是

 

．
（3）如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心A，PC=4，PB=8，则S_△OBC

 

．

Answer 1

分析：（1）把点M（5，4）的坐标代入曲线C的参数方程可得 a=1，故曲线C的参数方程为

x=1+2t y=t2

，消去参数t，化为普通方程为（x-1）²=4y．
 （2）已知不等式|x|+|x-2c|＞1的解集为R，而|x|+|x-2c|表示数轴上的x对应点到0和到2c对应点的距离之和，其最小值等于正实数2c，故2c＞1，从而得到c的范围．
（3）设圆的半径等于 r，则由切割线定理可得 PC²=PB•PA，求出 r 的值，可得cos∠COP，从而得到cos∠COB，利用同角三角函数的基本关系得到sin∠COB的值，由S_△OBC=

1

2

 r² sin∠COB求出结果．

解答：解：（1）把点M（5，4）的坐标代入曲线C的参数方程可得a=1，
故曲线C的参数方程为

x=1+2t y=t2

，
化为普通方程为 （x-1）²=4y，
故答案为（x-1）²=4y．
（2）已知不等式|x|+|x-2c|＞1的解集为R，
而|x|+|x-2c|表示数轴上的x对应点到0和到2c对应点的距离之和，
其最小值等于 正实数2c，
故2c＞1，∴c＞

1

2

，
故答案为c＞

1

2

．
（3）设圆的半径等于r，则由切割线定理可得PC²=PB•PA，∴16=8（8-2r），
∴r=3．  
故cos∠COP=

OC

OP

=

3

8-3

=

3

5

，∴cos∠COB=-

3

5

，
∴sin∠COB=

4

5

，则S_△OBC=

1

2

 r² sin∠COB=

18

5

，
故答案为 

18

5

．

点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，绝对值的意义，绝对值不等式的解法，切割线定理，同角三角函数的基本关系，求出圆的半径，是解题的关键．