Question

已知抛物线y=ax²-1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.

Answer 1

解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x₁，y₁)、Q(x₂,y₂),线段PQ的中点为M(x₀,y₀),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-(1+b)=0.            ①

    判别式Δ=1+4a(1+b)＞0.                       ②

    由①得x₀==,y₀=x₀+b=+b.

    ∵M∈l,∴0=x₀+y₀=++b,即b=-,代入②解得a＞.

解法二：设同解法一，由题意得

   

    将①②代入③④，并注意到a≠0,x₁-x₂≠0,

    得

    由二元均值不等式易得

    2(x₁²+x₂²)＞(x₁+x₂)²(x₁≠x₂).

    将⑤⑥代入上式得

    2(-+)＞()²,解得a＞.

解法三：同解法二，由①-②，得

    y₁-y₂=a(x₁+x₂)(x₁-x₂).

    ∵x₁-x₂≠0,

    ∴a(x₁+x₂)==1.

    ∴x₀==.

    ∵M(x₀,y₀)∈l,

    ∴y₀+x₀=0,即y₀=-x₀=-,从而PQ的中点M的坐标为（,-）.

    ∵M在抛物线内部，

    ∴a()²-(-)-1＜0.

    解得a＞.(舍去a＜0，为什么?).