Question

5．设△ABC的外心为O，垂心为H，求证：AH等于点O到边BC距离的2倍．

Answer 1

分析 取AH、BH中点F、G，连接FG，可得FG=$\frac{1}{2}$AB．连接MN，可得MN=$\frac{1}{2}$AB．利用MN∥FG，MN∥FG和FD⊥BC，OM⊥BC，求证∠HFG=∠OMN．同理∠HCF=∠ONM．从而证明△HFG∽△OMN，即可得出结论．

解答 证明：（中位线定理）取AH、BH中点F、G，
连接FG，则FG∥AB，FG=$\frac{1}{2}$AB．
连接MN，则MN∥FG，MN=$\frac{1}{2}$AB．故MN∥FG．
因FD⊥BC，OM⊥BC，故FD∥OM，即FH∥OM．从而∠HFG=∠OMN．
同理∠HGF=∠ONM．于是△HFG∽△OMN．
∴OM=FH=$\frac{1}{2}$AN，ON=GH=$\frac{1}{2}$BH．
即AH=2OM，BH=2ON．
AH等于点O到边BC距离的2倍．

点评 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的方法很多，但关键都是利用相似三角形对应边成比例来求解．