Question

14．已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=6．AC=AD=BC=BD=5 则三棱锥 A-BCD的外接球的球心O到平面BCD的距离为$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

Answer 1

分析 设CD中点为E，AB中点为F，连AE，BE，EF，过G作平面BCD的垂线交EF于O，点O即为三棱锥A-BCD外接球的球心，OG即为球心O到面BCD的距离，利用Rt△BEF∽Rt△EOG，可得三棱锥 A-BCD的外接球的球心O到平面BCD的距离．

解答 解：设CD中点为E，AB中点为F，连AE，BE，EF，
在等腰三角形BCD，其外心G 为BE与BC的垂直平分线的交点，
BC=BD=5，CD=6，BE=4，可得BG=$\frac{25}{8}$，
过G作平面BCD的垂线交EF于O，点O即为三棱锥A-BCD外接球的球心，
 OG即为球心O到面BCD的距离，（因面ABE⊥面BCD，故OG必在面ABE内）
 BF=3，BE=4，EF=$\sqrt{7}$，EG=BE-BG=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
因Rt△BEF∽Rt△EOG，故OG=$\frac{EG•BF}{EF}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题考查球的内接几何体，考查三棱锥 A-BCD的外接球的球心O到平面BCD的距离，考查计算能力，属于中档题．