Question

19．如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E为BC边中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱锥D₁-DBC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）分别以DA、DC、DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{B{D}_{1}}$和平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$，利用向量法能证明BD₁∥平面C₁DE．
（2）由${V}_{{D}_{1}-DB{C}_{1}}={V}_{B-D{D}_{1}{C}_{1}}$，利用等体积法能求出三棱锥D₁-DBC₁的体积．

解答 （1）证明：分别以DA、DC、DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B（2，2，0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），C₁（0，2，1），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，1），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，1），
设平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，2），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$$•\overrightarrow{n}$=-2×2+（-2）×（-1）+1×2=0，
∵BD不在平面C₁DE内，
∴BD₁∥平面C₁DE．
（2）∵${S}_{△D{D}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×D{D}_{1}×{D}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2=1$，
点B到平面DD₁C₁的距离BC=2，
∴三棱锥D₁-DBC₁的体积：
${V}_{{D}_{1}-DB{C}_{1}}={V}_{B-D{D}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{△D{D}_{1}{C}_{1}}×BC$
=$\frac{1}{3}×1×2$
=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法和等体积法的合理运用．