Question

11．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦点，P是椭圆上一点满足∠F₁PF₂=60°且|OP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，则椭圆离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 假设|F₁P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得-c²+$\frac{5}{4}$a²=$\frac{4}{3}$（a²-c²），可得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．

解答 解：不妨设|F₁P|=x，则|F₂P|=2a-x，
∵OP为三角形F₁F₂P的中线，∴根据三角形中线定理可知x²+（2a-x）²=$\frac{1}{2}$（4c²+3a²），
整理得x（2a-x）=-c²+$\frac{5}{4}$a²，
由余弦定理可知x²+（2a-x）²-x（2a-x）=4c²，
整理得x（2a-x）=$\frac{4}{3}$（a²-c²），
进而可知-c²+$\frac{5}{4}$a²=$\frac{4}{3}$（a²-c²），
∴a²=4c²
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．