Question

4．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是单位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$）的最小值为2-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是单位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．利用向量坐标运算、向量数量积运算性质、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是单位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$）
=（1+cosθ，sinθ）•（2cosθ，1+2sinθ）
=2cos²θ+2cosθ+2sin²θ+sinθ
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）+2≥2-$\sqrt{5}$，
当sin（θ+φ）=-1时取等号．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$）的最小值为2-$\sqrt{5}$．
故答案为：2-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量数量积运算性质、三角函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．