Question

14．已知函数f（x）=3x²-2mx-1
（1）求证：一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0
（2）若对一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）=3x²-2mx-1恒过定点（0，-1）且开口向上，要使得存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，只要f（-1）和f（2）中有一个大于0即可，列出不等式，解出m的取值范围为R得答案；
（2）利用更换主元的解题思想方法，把对一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，化为关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2x+3{x}^{2}-1≥0}\\{g（2）=-4x+3{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 （1）证明：若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，
根据二次函数f（x）=3x²-2mx-1恒过定点（0，-1）且开口向上，
∴f（-1）＞0或f（2）＞0，即2m+2＞0或-4m+11＞0，解得m∈R．  
∴对于任意实数m，一定存在x₀∈（-1，2），使得f（x₀）≥0；
（2）解：令g（m）=-2xm+3x²-1，
∵对一切m∈（-1，2）恒有f（x）＞0，即恒有g（m）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2x+3{x}^{2}-1≥0}\\{g（2）=-4x+3{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，解得：x≤-1或x≥$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$．
∴实数x的取值范围是（-∞，-1]∪[$\frac{2+\sqrt{7}}{3}，+∞$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，以及函数的恒成立问题．对于恒成立问题，一般选用参变量分离，转化成求函数的最值．本题同时考查了更换主元的解题思想方法，在应用时要注意不等式成立的条件．属于中档题．