Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，则|t$\overrightarrow{b}$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|的最大值$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，可得$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2．再利用数量积运算性质与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2．
∴|t$\overrightarrow{b}$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t（1-2t）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（1-2t）^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}+4t（1-2t）+（1-2{t}^{2}）×1}$=$\sqrt{-6（t-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{5}{3}}$$≤\sqrt{\frac{5}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
当t=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴|t$\overrightarrow{b}$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|的最大值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．