Question

17．若动点（x，y）在圆（x-2）²+y²=4上，求3x²+4y²的最大值．

Answer 1

分析 可利用圆的参数方程将求x，y的线性组合的最值的问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的有界性求最值，由圆的方程可设x=2+2cosα，y=2sinα，其中α∈R代入3x²+4y²，利用三角函数的相关知识化简求值．

解答 解：∵（x-2）²+y²=4，
∴可设x=2+2cosα，y=2sinα．
∴3x²+4y²=3（2+2cosα）²+4（2sinα）²=-4cos²α+24cosα+28=-4（cosα-3）²+64，
∵-1≤cosα≤1，
∴cosα=1，3x²+4y²的最大值为48．

点评 本题考点是圆的标准方程，考查最值，属于三角函数求最值的运用，三角函数与圆与椭圆等都可以通过参数方程互相转化，用三角函数解决此类函数的最值问题是其一个比较重要的运用．