Question

8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动到C点，$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\frac{5}{3}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． 1或2
• C． $\frac{5}{6}$或2
• D． 1或$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 建立如图所示的直角坐标系，由正方形的边长为1，可以得到$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），然后根据$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\frac{5}{3}$，可得λ+μ的值．

解答 解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图：

则B（1，0），E（-2，1），C（1，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，1），$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-2μ，μ），
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=5u-2λ=-$\frac{5}{3}$，
当P点在线段AB上时，μ=0，解得：λ=$\frac{5}{6}$，此时λ+μ=$\frac{5}{6}$，
当P点在线段BC上时，由$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$-3$\overrightarrow{AB}$可得：$\overrightarrow{AP}$=$（λ-3μ）\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
此时λ-3μ+u=1，解得：λ=$\frac{5}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$λ+μ=2．　　
故选：C

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，向量法表示三点共线，难度不大，属于基础题．