Question

19．一扇形如图所示，OA⊥OB，OA=OB=1，P为$\widehat{AB}$上一动A点，则$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的取值范围为[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设出P的坐标，把$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$用含有P的坐标表示，然后利用$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的几何意义求解．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，

则B（1，0），A（0，1），设P（x，y）（0≤x≤1），
则$\overrightarrow{AP}=（x，y-1），\overrightarrow{BP}=（x-1，y）$，$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$=x（x-1）+y（y-1）+$\sqrt{2}$
=${x}^{2}+{y}^{2}-x-y+\sqrt{2}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．
$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的几何意义为扇形弧上的点与点M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）距离的平方，
∴当点P位于OM的连线与扇形弧交点时，$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的值最小为$（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
此时$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值为$\frac{3}{2}-\sqrt{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}=1$；
当点P位于A（或B）时，$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的值最大为$（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，
此时$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最大值为$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
故答案为：[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的坐标运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．