Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1内有一点M（2，3），F₁，F₂为椭圆左，右焦点，P为椭圆C上的一点，求PM+PF₁的最值．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义表示出PM+PF₁，通过基本不等式求出的最小值，利用三点共线求出最大值，求出对应的点P坐标；

解答 解：如图，2a=10，F₂（3，0），MF₂=$\sqrt{10}$，
设P是椭圆上任一点，由PF₁+PF₂=2a=10，PM≥PF₂-MF₂，
∴PM+PF₁≥PF₁+PF₂-MF₂=2a-MF₂=10-$\sqrt{10}$，
等号仅当PM=PF₂-MF₂时成立，此时P、M、F₂共线．
由PM≤PF₂+MF₂，
∴PM+PF₁≤PF₁+PF₂+MF₂=2a+MF₂=10+$\sqrt{10}$，
等号仅当PM=PF₂+MF₂时成立，此时P、M、F₂共线．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边大小关系、三点共线，考查转化思想与计算能力，属于中档题．