Question

等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析：直线MN左侧的面积的计算方法与MN所处的位置不同计算方式不同，MN所处的位置可分为三种情况：M在A，H之间，M在H，G之间或M在G，D之间，所以分三段计算求解．

解答：解析；作BH⊥AD，H为垂足，
CG⊥AD，G为垂足，
依题意，则有AH=

a

2

，AG=

3

2

a．
（1）当M位于点H的左侧时，
N∈AB，由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=x．
∴y=S_△AMN=

1

2

x²（0≤x≤

a

2

）．
（2）当M位于HG之间时，
由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=

a

2

，BN=x-

a

2

．
∴y=S_{直角梯形AMNB}=

1

2

•

a

2

[x+（x-

a

2

）]=

1

2

ax-

a2

8

（

a

2

＜x≤

3

2

a）．
（3）当M位于点G的右侧时，
由于AM=x，MN=MD=2a-x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△MDN=

1

2

•

a

2

（2a+a）-

1

2

（2a-x）²=

3a2

4

-

1

2

（4a²-4ax+x²）=-

1

2

x²+2ax-

5a2

4

（

3

2

a＜x≤2a）．
综上：y=

1 2 x2 x∈[0 a 2 ] 1 2 ax- a2 8 x∈( a 2 3 2 a] - 1 2 x2+2ax- 5a2 4 x∈( 3 2 a，2a]

点评：本题属于一道分段函数的应用问题，属于一个中档题，能有效考查学生综合运用知识解决问题的能力．