Question

等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．

Answer 1

【答案】分析：直线MN左侧的面积的计算方法与MN所处的位置不同计算方式不同，MN所处的位置可分为三种情况：M在A，H之间，M在H，G之间或M在G，D之间，所以分三段计算求解．
解答：解析；作BH⊥AD，H为垂足，
CG⊥AD，G为垂足，
依题意，则有AH=，AG=a．
（1）当M位于点H的左侧时，
N∈AB，由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=x．
∴y=S_△AMN=x²（0≤x≤）．
（2）当M位于HG之间时，
由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=，BN=x-．
∴y=S_{直角梯形AMNB}=•[x+（x-）]=ax-（＜x≤a）．
（3）当M位于点G的右侧时，
由于AM=x，MN=MD=2a-x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△MDN=•（2a+a）-（2a-x）²=-（4a²-4ax+x²）=-x²+2ax-（a＜x≤2a）．
综上：
点评：本题属于一道分段函数的应用问题，属于一个中档题，能有效考查学生综合运用知识解决问题的能力．