Question

已知f(x)=-

1

2

+sin(

π

6

-2x)+cos(2x-

π

3

)+cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

8

，

5π

8

]上的最大值，并求出f（x）取最大值时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式和和差化积公式对函数解析式进行化简为f（x）=

3

2

cos2x，即可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x∈[

π

8

，

5

8

π]，求出2x∈[

π

4

，

5

4

π]，利用余弦函数的单调性即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+

π

3

)+cos(2x-

π

3

)+

1+cos2x

2

-

1

2

=cos2xcos

π

3

+

cos2x

2

=

3

2

cos2x
故f（x）的周期是π． 
（Ⅱ）∵x∈[

π

8

，

5

8

π]，2x∈[

π

4

，

5

4

π]
∴f(x)在[

π

8

，

π

2

]上是减函数，
∴f(x)在[

π

2

，

5π

8

]上是增函数
∴f(

π

8

)＞f(

5

8

π)
故当x=

π

8

时，f（x）的最大值是

3

4

2

点评：本题考查三角恒等变换和三角函数的周期性以及最值问题，利用公式对三角函数解析式化简是解题的关键，考查运算能力，属中档题．