Question

设函数，g（x）=x+1，对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

分析：通过已知条件，得到m与x的不等式，通过m＞0与m＜0，分别借助二次函数求出m的范围即可．
解答：函数，g（x）=x+1，对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
所以，
①当m＞0时，上式化为m²x（x+1）-1≥0，即m²x²+m²x-1≥0，
函数y=m²x²+m²x-1的对称轴x=-，开口向上，
对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
必有f（1）≥0，即2m²-1≥0，因为m＞0解得m∈．
②当m＜0时，因为x∈[1，+∞），所以，
即m²x²+m²x-1≤0，函数y=m²x²+m²x-1的对称轴x=-，开口向上，
对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
显然不成立，
综上实数m的取值范围是：．
点评：本题考查恒成立问题的应用，分类讨论与转化思想的应用，考查计算能力．