Question

已知函数f(x)=-x+log2

1-x

1+x

，定义域为（-1，1）
（1）求f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)的值．
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．

Answer 1

分析：（1）先证明函数f（x）是定义域上的奇函数，再计算f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)的值；
（2）由函数的单调性定义证明f（x）是定义域上的增减性，步骤是一取值，二作差，三判正负，四下结论．

解答：解：（1）∵函数f(x)=-x+log2

1-x

1+x

，定义域为（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），有f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=-（-x+log₂

1-x

1+x

）=-f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；
∴f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)=f（

1

2008

）-f（

1

2008

）=0；
（2）f（x）是定义域上（-1，1）的减函数，证明如下：
∵f（x）是定义域上（-1，1）的奇函数，
∴任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂

1-x1

1+x1

）-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）=（x₂-x₁）+log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

）=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

＞1，即log₂

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以，f（x）是定义域上（-1，1）的减函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用与单调性的证明，是一个容易出错的题目．