Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意：PA⊥底面ABCD，底面是一个直角梯形，以点A为原点建立空间直角坐标系，依次计算：B，C，D，P，的空间坐标，根据向量坐标运算法则，证明BE⊥DC；
（2）设n=（x，y，z）为平面PBD的法向量．利用法向量与平面内任何一条直线都垂直的坐标关系，解出法向量坐标，向量之间的夹角公式，即可解出直线与平面所成的角．

解答 解：（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），依题意，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．E（1，1，1）．
那么：$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0）
$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DC}$=0×2+1×0+1×0=0
所以，BE⊥DC．
得证．
（2）设n=（x，y，z）为平面PBD的法向量．由（1）各点的坐标可知，
那么：$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，1）
∵法向量余平面内任何一条向量都垂直：
联立：$\left\{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{BD}=0}\\{n•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，不妨令y=1，则x=2，z=1
解得其中一条法向量n=（2，1，1）．
设直线BE与平面PBD所成角为θ，
sinθ=|cos＜n，$\overrightarrow{BE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•n}{|\overrightarrow{BE}|•|n|}$|=$\frac{2}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴cosθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以，直线BE与平面PBD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了两条异面直线垂直的证明，常用到平移相交，求角是直角，用到面面垂直，直线垂直两平面的交线来证明线线垂直．还有就是向量法，适合于空间各顶点能很好计算的立体图形．
线面角，当我们遇到线与平面很难寻找或者构造辅助线，也不好证明的时，可以考虑用向量法．属于中档题．