Question

1．已知三点A（2，5）、B（0，-6）、C（0，6）关于直线y=x的对称点分别为P、F₁、F₂，曲线E是以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线．求双曲线E的标准方程．

Answer 1

分析 由题意，P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0），利用双曲线的定义，求出a，再求出b，从而可得双曲线的方程．

解答 解：由题意，P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0），
|PF₁|-|PF₂|=$\sqrt{（5+{6）}^{2}+{2}^{2}}$-$\sqrt{（5-6）^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{5}$=2a，
∴a=2$\sqrt{5}$，
∵c=6，∴b=4，
∴以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$..

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，正确理解双曲线的定义是关键．