Question

19．设a∈R，函数f（x）=x³-3ax²+a．
（1）若x=-1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得x∈[1-a，1+a]时，恒有-1≤f′（x）≤1成立（f′（x）是函数f（x）的导函数）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（-1）=0，求出a的值即可；
（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出函数的最大值和最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax，
f′（-1）=3+6a=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$；
（2）f′（x）=3x²-6ax，对称轴x=a，
①a≤1-a即a≤$\frac{1}{2}$时，
f′（x）在[1-a，1+a]递增，
∴f′（x）_min=f′（1-a）=9a²-12a-3，
f′（x）_max=f′（1+a）=-3a²+3，
∵-1≤f′（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{{9a}^{2}-12a-3≥-1}\\{-{3a}^{2}+3≤1}\end{array}\right.$，解得：a≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
②$\frac{1}{2}$＜a≤1时，f′（x）在[1-a，a）递减，在（a，1+a]递增，
而a-1+a＜1+a-a，
∴f′（x）_min=f′（a）=-3a²，f′（x）_max=-3a²+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜a≤1}\\{-{3a}^{2}≥-1}\\{-{3a}^{2}+2≤1}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③a＞1时，a-1+a＞1+a-a，
∴f′（x）_min=f′（a）=-3a²，f′（x）_max=f′（1-a）=9a²-12a-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-{3a}^{2}≥-1}\\{{9a}^{2}-12a-3≤1}\end{array}\right.$，无解，
而1-a＜1+a，故a≥0，
综上：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．