Question

【题目】设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.

（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”；

（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；

（3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ,(2)证明见解析,(3)的最大值为1,的最大值为

【解析】

(1)直接由题意写出即可;

(2)用反证法证明即可;

(3)用定义证明在上递增,在上递减后,可得,.

(1)取,该函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”;

证明:任取,

则,

因为在上为增函数,所以,

即,由定义可知, 函数是集合到集合R的一个“保序同构函数”.

(2)证明:假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合和集合中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在中的像分别为和,根据保序性,因为0<1,所以,又也是有理数,但是没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”.

(3)设,则,

所以当时,,

所以,即,所以在上递增,

当时, ,所以,即,

所以在上递减,

因为是集合到集合的“保序同构函数”,

所以在上递增,所以,所以的最大值为1,的最大值为.