Question

已知直线l：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是

 

（填上所有正确命题的序号）．
①直线l对任意实数k恒过点P（1，-2）；
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线；
③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等；
④若

x0

3

+y0=1，则直线（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）与直线AB及直线l都有公共点；
⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；
⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析命题：利用直线系方程可得①正确，通过举反例可得②不正确．通过给变量取特殊值可得③不正确，由直线（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公共点P，可得 ④正确．直线l与线段AB有公共点时，数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，求得k的范围，可得命题⑤、命题⑥都不正确；综合可得答案．

解答：解：①直线l方程为：y+2=-k（x-1），恒过点P（1，-2），故①正确．
②由于方程kx+y-k+2=0不能表示直线 x=1，故 ②不正确．
③当k=-1时直线l方程为 x-y-3=0，在坐标轴上的截距分别为3和-3，
直线l在坐标轴上的截距相反，故③不正确．
④若

x0

3

+y0=1，则点M（x₀，y₀）在直线AB上（截距式），又点P（1，-2）在直线l上，
而直线（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，
与直线l有公共点P，故④正确．
⑤⑥直线l与线段AB有公共点时，直线l的斜率-k≥k_PA=1，或者-k≤k_PB=-3，
解得 k≤-1，或 k≥3，故命题⑤、⑥都不正确．
综上，答案为 ①④．

点评：本题考查过定点的直线系方程的特征，直线在坐标轴上的截距的定义，两直线的交点坐标的求法，属于中档题．