Question

1．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x²+y²=a²的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且$\overrightarrow{FM}$=2$\overrightarrow{MP}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出M的坐标，代入圆的方程求得离心率．

解答 解：设P（0，3y），则M（$\frac{1}{3}$c，2y），
则∵OM⊥PF，∴$\frac{2y}{\frac{1}{3}c}•\frac{3y}{-c}$=-1，取y=$\sqrt{\frac{c}{18}}$，
M的坐标代入圆x²+y²=a²，即圆$\frac{1}{9}$c²+$\frac{4}{18}{c}^{2}$=a²，∴$e=\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出M的坐标是解题的关键．