Question

（2011•宁波模拟）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．
（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）因为CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面CBF∥面DAE，而BC?面CBF，根据面面平行的性质定理可知BC∥平面DAE；
（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据

CF

=

1

2

DE

求出点C的坐标，而

BA

是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，最后利用公式cos＜

n1

，

n2

＞=

n2 • n2

| n1 || n2 |

进行求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

解答：解：（I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，
∴CF∥DE，FB∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC?面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=

3

，又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱锥D-AEFB的体积V=

1

3

×

3

×2×2=

4 3

3

…（6分）
（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），D（0，0，

3

），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F（1，-2，0）
因为

CF

=

1

2

DE

，
所以C(

1

2

，-2，

3

2

)…（8分）
易知

BA

是平面ADE的一个法向量，

BA

=

n1

=(0，2，0)…（9分）
设平面BCD的一个法向量为

n2

=(x，y，z)
由

n2 • BC =(x，y，z)•( 3 2 ，0 3 2 )= 3 2 x+ 3 2 z=0 n2 • BD =(x，y，z)•(1，2 3 )=x+2y+ 3 z=0

令x=2，则y=2，z=-2

3

，∴

n2

=(2，2，-2

3

)…（10分）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2×0+2×2-2 3 ×0

2×2 5

=

5

5

所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为

5

5

…（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．