Question

11．已知数列满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），b₁=-6，且递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜3．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式可得$\frac{1}{{a}_{n}}$．又b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，又b₁=-6，且递增数列，可得b₂=（2-λ）•2＞b₁=-6，n≥2时，b_n+1＞b_n．解出即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
又b₁=-6，且递增数列，
∴b₂=（2-λ）•2＞b₁=-6，n≥2时，b_n+1＞b_n．
化为$\left\{\begin{array}{l}{λ＜5}\\{λ＜3}\end{array}\right.$，解得λ＜3．
∴实数λ的取值范围为λ＜3．
故答案为：λ＜3．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．