Question

19．已知实数a，b满足a≥b＞0，则（$\frac{1+3a}{1+a}$）²+（$\frac{4+b}{1+b}$）²的最小值为$\frac{121}{13}$．

Answer 1

分析 换元法和不等式的性质可得（3-$\frac{2}{1+a}$）²≥（3-$\frac{2}{1+b}$）²，代入已知式子可得$\frac{1}{1+b}$的二次函数形式，由二次函数的知识可得．

解答 解：令t=$\frac{1+3a}{1+a}$=$\frac{3（1+a）-2}{1+a}$=3-$\frac{2}{1+a}$，
∵a≥b＞0，∴t=3-$\frac{2}{1+a}$在[b，+∞）上单调递增，
∴当a=b时，t取最小值3-$\frac{2}{1+b}$，即t≥3-$\frac{2}{1+b}$，
∴（3-$\frac{2}{1+a}$）²≥（3-$\frac{2}{1+b}$）²，
∴（$\frac{1+3a}{1+a}$）²+（$\frac{4+b}{1+b}$）²≥（3-$\frac{2}{1+b}$）²+（$\frac{4+b}{1+b}$）²=（3-$\frac{2}{1+b}$）²+（1+$\frac{3}{1+b}$）²，
令y=（3-$\frac{2}{1+b}$）²+（1+$\frac{3}{1+b}$）²=$\frac{13}{（1+b）^{2}}$-$\frac{6}{1+b}$+10=13（$\frac{1}{1+b}$-$\frac{3}{13}$）²-13×$\frac{9}{1{3}^{2}}$+10
由二次函数的知识可得y≥$\frac{121}{13}$，即已知式子的最小值为$\frac{121}{13}$
故答案为：$\frac{121}{13}$．

点评 本题考查函数的最值，换元法和分离常数是解决问题的关键，属中档题．