Question

9．已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，则a的值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由两点间距离公式得到欲求当四边形PABN的周长最小时a的值，只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值时的a值，只需x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小即可，由此能求出a的值．

解答 解：∵点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），
∴四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+1
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{13}$+1，
∴欲求当四边形PABN的周长最小时a的值，
只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值时的a值．
由于$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（0-1）^{2}}$，
表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．
利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
且取得最小的a值为E（1，-3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
∵直线EF的斜率k=$\frac{1+3}{3-1}$=2，∴直线EF方程为y+3=2（x-1），化简得y=2x-5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，∴此时a的值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和等价转化思想的合理运用．