Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y=3^x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9^x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是（log₃2，2）．

Answer 1

分析 设A（n，3ⁿ），B（m，3^m），由图象和解析式求出点C的坐标，根据A，B，O三点共线，利用斜率相等、指数、对数的运算求得点A的坐标．

解答 解：由题意设A（n，3ⁿ），B（m，3^m），
由9^x=3^m=3^2x，即m=2x，解得x=$\frac{m}{2}$，则C（$\frac{m}{2}$，3^m），
∵AC平行于y轴，∴n=$\frac{m}{2}$，则m=2n，
∴A（$\frac{m}{2}$，3ⁿ），B（m，3^m），
又A，B，O三点共线，∴k_OA=k_OB，
则$\frac{{3}^{n}}{\frac{m}{2}}=\frac{{3}^{m}}{m}$，∴3^m=2•3ⁿ=3²ⁿ，
得3ⁿ=2，即n=log₃2，且${3}^{n}={3}^{lo{g}_{3}^{2}}$=2，
∴点A的坐标是（log₃2，2）．
故答案为：（log₃2，2）．

点评 本题考查指数函数的图象与性质，指数、对数的运算，直线的斜率公式、三点共线的判定方法等，综合性较强，属于中档题．