Question

（1）解含x的不等式：22x+1＜(

1

4

)2-3x；
（2）求函数f（x）=log₂（-x²-2x+3）的值域，并写出其单调递增区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数的单调性即可求解；
（2）利用复合函数单调性之间的关系进行求解．

解答： 解：（1）不等式22x+1＜(

1

4

)2-3x等价为2^2x+1＜2^2（3x-2），
即2x+1＜6x-4，
则4x＞5，解得x＞

5

4

，则不等式的解集为（

5

4

，+∞）．
（2）设t=-x²-2x+3，为-x²-2x+3＞0，即x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∵t=-x²-2x+3=-（x+1）²+4∈（0，4]，
∴log₂t≤log₂4=2，即y≤2，则函数的值域为（-∞，2]，
要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t=-x²-2x+3的递增区间，
∵当x∈（-3，-1]时，函数t=-x²-2x+3递增，
故函数f（x）的单调递增区间是（-3，-1]．

点评：本题主要考查指数不等式的求解以及对数函数的性质，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．