Question

若函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），且当x≠1时其导函数f′（x） 满足xf′（x）＞f′（x），若1＜a＜2，则（　　）

• A、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• C、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
• D、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

分析：由f（x）=f（2-x），可知函数f（x）关于直线x=1对称，由xf′（x）＞f′（x），可知f（x）在（-∞，1）与（1，+∞）上的单调性，从而可得答案．

解答：解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
再根据xf′（x）＞f′（x），可得 f′（x）（x-1）＞0，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，1）单调递减；
∵1＜a＜2，
∴0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4，
∴f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a），
故选：B．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（-∞，1）与（1，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．