Question

若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）的解集为

 

．

Answer 1

分析：对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y）将不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）?则不等式f[x（x+6）]≤f（16）再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式即可．

解答：解：∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴2f（4）=f（4）+f（4）=f（16）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴则不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）?则不等式f[x（x+6）]≤f（16）

x+6＞0 x＞0 (x+6)•x≤16

??0＜x≤2
则不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）的解集{x|0＜x≤2}
故答案为；{x|0＜x≤2}．

点评：赋值法是解决抽象函数常用的方法．抽象函数是以具体函数为背景的，“任意x＞0，y＞0时，f（x）+f（y）=f（xy）”的背景函数是f（x）=log_ax（a＞0），我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路．