Question

12．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx．
（1）当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，若sinx=$\frac{4}{5}$，求函数f（x）的值；
（2）当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，求函数h（x）=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图象沿x轴方向平移m个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，求|m|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意及同角三角函数关系式可求cosx的值，利用两角和与差的正弦函数公式即可计算求值．
（2）由三角函数恒等变换的应用及配方可得h（x）=2[sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{3}{4}$]²-$\frac{17}{8}$，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，即可求得值域．
（3）由题意g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+m）=2cos（$\frac{π}{2}-x+\frac{π}{6}+m$），根据余弦函数的图象和性质可解得$\frac{2π}{3}+m=kπ$，k∈Z，即可得解．

解答 解：（1）∵当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，若sinx=$\frac{4}{5}$，可得cosx=-$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx=2（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）-2cosx=2（$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$）-2×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$．
（2）∵h（x）=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-cos（2x-$\frac{π}{3}$）
=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-2cos²（x-$\frac{π}{6}$）+1
=-3sin（x-$\frac{π}{6}$）-2+2sin²（x-$\frac{π}{6}$）+1
=2sin²（x-$\frac{π}{6}$）-3sin（x-$\frac{π}{6}$）-1
=2[sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{3}{4}$]²-$\frac{17}{8}$，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴h（x）∈[-$\frac{17}{8}$，-2]．
（3）∵g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+m）=2cos（$\frac{π}{2}-x+\frac{π}{6}+m$），
∴$\frac{2π}{3}+m=kπ$，k∈Z，
∴解得|m|的最小值为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质的应用，用配方法求解析式h（x）是解题的关键，属于基本知识的考查．