Question

9．设x，y∈R且满足3≤xy²≤8，4≤$\frac{{x}^{2}}{y}$≤6，则$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$∈[2，12]．

Answer 1

分析 根据不等式的性质求出（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，36]，$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，从而求出$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$的范围即可．

解答 解：∵实数x，y满足3≤xy²≤8，4≤$\frac{{x}^{2}}{y}$≤6，
则有：（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，36]，$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，
又 $\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$=（ $\frac{{x}^{2}}{y}$）²•$\frac{1}{{xy}^{2}}$∈[2，12]，
故答案为：[2，12]．

点评 本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道中档题．